CHUYÊN ĐỀ 1. SỐ TỰ NHIÊN, SỐ THẬP PHÂN
* Lý thuyết so sánh hai số tự nhiên
- Số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn. Ví dụ: 123456 > 65432
- Nếu hai số có cùng số chữ số thì ta so sánh từng cặp chữ số ở cùng một hàng theo thứ tự
từ trái sang phải. Đến hàng nào đó mà chữ số ở cùng một hàng của số nào đó lớn hơn thì
số đó lớn hơn. Ví dụ: 2014 899 > 2013 899.
- Nếu hai số có tất cả các cặp chữ số ở từng hàng bằng nhau thì hai số đó bằng nhau. Ví
dụ: 4289 = 4289.
- Căn cứ vào vị trí trên tia số: Số nào gần gốc tia số hơn thì số đó bé hơn.
- Căn cứ vào vị trí trong dãy số tự nhiên: Số đứng trước bao giờ cũng bé hơn số đứng sau.
* Lý thuyết về số thập phân
Khái niệm: Số thập phân gồm hai phần: phần nguyên và phần thập phân đƣợc
phân cách nhau bởi dấu phẩy.
Trong đó:
- Những chữ số viết bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên.
- Những chữ số viết bên phải dấu phẩy gọi là phần thập phân.
VD: Số thập phân: 23,456 trong đó: 23: Phần nguyên; 456: phần thập phân.
Chú ý: Số tự nhiên có thể xem là số thập phân với phần thập phân chỉ gồm các chữ số 0.
VD: Số 54 có thể viết dưới dạng số thập phân là 54,0; 54,00…
Cách đọc số thập phân: Muốn đọc một số thập phân, ta đọc lần từ hàng cao đến hàng
thấp: trước hết đọc phần nguyên và đọc “phẩy” sau đó đọc số thuộc phần thập phân (đọc
đầy đủ các hàng)
VD: 123,456 đọc là: Một trăm hai mươi ba phẩy bốn trăm năm mươi sáu.
101,003 đọc là: Một trăm linh một phẩy không trăm linh ba.
Cách viết số thập phân: Muốn viết số thập phân ta viết từ hàng cao đến hàng thấp: trước
hết ta viết nguyên rồi viết dấu “phẩy” và viết phần thập phân.
VD: Viết số:
Một nghìn hai trăm bốn mươi sáu phẩy không nghìn không trăm hai mươi ba: 1246,0023.
* Lý thuyết về số tự nhiên và cấu tạo số
1. Các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…là các số tự nhiên. Các số tự nhiên đƣợc
viết theo thứ tự đó tạo thành dãy một số tự nhiên liên tiếp.
- Số 0 là số tự nhiên bé nhất.

1

- Không có số tự nhiên lớn nhất.
2. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau một đơn vị.
- Thêm một đơn vị vào một số tự nhiên, ta được số tự nhiên liền sau nó.
- Bớt một đơn vị ở một số tự nhiên khác 0, ta được một số tự nhiên liền trước nó.
3. Khi viết các số tự nhiên trong hệ thập phân ngƣời ta dùng 10 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4;
5; 6; 7; 8; 9.
4. Tính chẵn, lẻ của số tự nhiên:
- Các số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là các số chẵn.
- Các số có tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ.
- Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
- Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị.
5. Tia số:
- Số 0 ứng với điểm gốc của tia số.
- Mỗi số tự nhiên ứng với một điểm trên tia số.
6. Trong hệ thập phân có mƣời đơn vị hàng sau gộp thành một đơn vị ở hàng liền
trƣớc.
Ví dụ: 10 đơn vị = 1 chục; 10 chục = 1 trăm; 10 trăm = 1 nghìn.
7. Để đọc hay viết các số tự nhiên ngƣời ta tách số thành lớp và hàng.
- Cứ ba hàng tạo thành một lớp, mỗi chữ số ứng với một hàng.
- Lớp đơn vị gồm các hàng: đơn vị, chục, trăm.
- Lớp nghìn gồm các hàng: đơn vị, chục nghìn, trăm nghìn.
- Lớp triệu gồm các hàng: triệu, chục triệu, trăm triệu.
- Lớp tỉ gồm các hàng: tỉ, chục tỉ, trăm tỉ.
8. Muốn đọc số tự nhiên ta làm nhƣ sau:
- Tách số cần đọc thành từng lớp theo thứ tự từ phải sang trái, mỗi lớp có 3 chữ số.
- Đọc từ trái sang phải theo lớp (dựa vào cách đọc số có ba chữ số) kèm theo tên lớp (trừ
tên lớp đơn vị).
2

- Lớp nào, hàng nào không có đơn vị thì có thể không cần đọc (đối với hàng chục ở các
lớp đọc là “linh” hoặc “lẻ”).
Ví dụ: 75 604 305 đọc là: Bảy mươi lăm triệu sáu trăm linh bốn nghìn ba trăm lẻ năm.
9. Viết số tự nhiên có nhiều chữ số nên viết lớp nọ cách lớp kia một khoảng cách lớn
hơn khoảng cách giữa hai chữ số trong cùng một lớp.
Ví dụ: Năm triệu không trăm bảy tư nghìn hai trăm ba tư: 5 074 234. Khi viết các số có
nhiều hơn một chữ số, trong đó ít nhất có một chữ số chưa biết, cần phải có dấu “gạch
ngang” trên đầu số đó.
* Phép chia số tự nhiên
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1.

a : b = c (số bị chia : số chia = thương)

- Muốn tìm số bị chia chưa biết, ta lấy thương nhân với số chia (số bị chia = số
chia thương).
- Muốn tìm số chia chưa biết, ta lấy số bị chia chia cho thương (số chia = số bị chia :
thương).
2.

– Bất kỳ số nào chia cho 1 cũng bằng số đó (a : 1 = a)
– Một số chia cho chính nó thì bằng 1 (a : a = 1)

3.

Số 0 chia hết cho bất kỳ số nào khác 0 đều bằng 0: 0 : a = 0.

4.

Nếu gấp số bị chia và số chia lên cùng một số lần thì thương không đổi.
a:b=c
(a x m) : (b x m) = c (m khác 0)

5. Khi chia một tổng cho một số, nếu các số hạng của tổng đều chia cho số chia thì ta
có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.
(a + b) : c = a : c + b : c.
6. Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thể chia số đó cho một thừa số, rồi
lấy kết quả tìm được chia tiếp cho thừa số kia.
a : (b x c) = a : b : c = a : c : b (b và c khác 0).
7. Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lấy một thừa số chia cho số đó
(nếu chia hết) rồi nhân kết quả với thừa số kia.
(a x b) : c = a : c x b = a x (b : c) (với c khác 0).
8. Muốn chia một số chẵn chục, chẵn trăm, chẵn nghìn…cho 10, 100, 1000,…ta chỉ
việc bỏ bớt đi một, hai, ba,…chữ số 0 tận cùng bên phải số đó.
9.

Phép chia có dư:

3

a : b = c dư r (b khác 0 và r < c).
Muốn tìm số bị chia trong phép chia có dư, ta lấy thương nhân với số chia rồi cộng
với số dư :
a=cxb+r
Muốn tìm số chia trong phép chia có dư, ta lấy số bị chia trừ đi số dư rồi chia cho
thương :
(a - r) : c = b
-

Trong phép chia có dư, số dư lớn nhất kém số chia một đơn vị.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Một xe tải chuyển gạch. Chuyến thứ nhất chuyển được 1753 viên gạch, chuyến
thứ hai chở được 1743 viên, chuyến thứ ba chở được 1820 viên. Hỏi trung bình mỗi
chuyến xe chở được bao nhiêu viên gạch?
Lời giải
Cả ba chuyến chở được số viên gạch là:
1753 + 1743 + 1820 = 5316 (viên)
Trung bình mỗi chuyến xe chở được số viên gạch là:
5316 : 3 = 1772 (viên)
Đáp số: 1772 viên gạch.
Ví dụ 2: Một của hàng có 48 bao gạo, mỗi bao gạo nặng 50 kg. Cửa hàng đã bán được 1/3
số gạo đó. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
Lời giải
Trước khi bán, cửa hàng có số gạo là:
50 x 48 = 2400 (kg).
Số gạo cửa hàng đã bán đi là:
2400 : 3 = 800 (kg).
Số gạo còn lại của cửa hàng là:
2400 – 800 = 1600 (kg).
Đáp số: 1600 kg gạo.
* Phép nhân số tự nhiên
A. LÝ THUYẾT
1. a x b = c (thừa số x thừa số = tích)
- Muốn tìm thừa số chưa biết, ta lấy tích chia cho thừa số đã biết.
Ví dụ 1:

a x 3 = 15
a = 15 : 3
a = 5.

4

Ví dụ 2:

8 x b = 24
b = 24 : 8
b=3

2.

Tính chất giao hoán

Khi đổi chỗ các thừa số trong tích thì tích đó không đổi.
axb=bxa
3.

Tính chất kết hợp

Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất với tích số thứ hai và số
thứ ba.
(a x b) x c = a x (b x c)
4.

Bất cứ số nào nhân với 0 cũng bằng 0.
ax0=0

5.

Bất cứ số nào nhân với 1 cũng bằng chính nó.
a x 1 = a.

6. Muốn nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổng
rồi cộng kết quả lại :
a x (b + c) = a x b + a x c.
7. Muốn nhân một số với một hiệu, ta có thể nhân số đó với số bị trừ, nhân số đó
với số trừ rồi trừ hai kết quả cho nhau.
a x (b - c) = a x b – a x c.
8. Muốn nhân một số tự nhiên với 10; 100; 1000;… ta chỉ việc thêm vào bên phải
số đó một, hai, ba… chữ số 0.
9.

Nếu gấp một thừa số lên bao nhiêu lần thì tích gấp lên bấy nhiêu lần.
axb=c
a x (b x m) = c x m

10. Trong phép nhân, nếu ta thêm hoặc bớt ở một thừa số bao nhiêu đơn vị và giữ
nguyên thừa số kia thì tích sẽ tăng lên hoặc giảm đi bấy nhiêu lần thừa số còn lại.
axb=c
(a + m) x b = c + m x b
(a - n) x b = c – n x b
11. Một số cách tính nhân nhẩm trên số tự nhiên :
a) Nhân nhẩm với 5, 50, 25, 250 và 125
5

- Muốn nhân nhẩm một số với 5, ta nhân số đó với 10 được bao nhiêu chia cho 2.
- Muốn nhân nhẩm một số với 50, ta nhân số đó với 100 được bao nhiêu rồi đem chia cho
2.
- Muốn nhân nhẩm một số với 25 ta nhân số đó với 100 được bao nhiêu đem chia cho 4.
- Muốn nhân nhẩm một số với 250 ta lấy số đó nhân với 1000 được bao nhiêu rồi đem
chia cho 4.
- Muốn nhân nhẩm một số với 125 ta lấy số đó nhân với 1000 được bao nhiêu chia cho 8.
b) Nhân nhẩm với 9 và 99
- Muốn nhân nhẩm một số với 9, ta nhân số đó với 10 được bao nhiêu rồi trừ đi chính số
đó.
- Muốn nhân nhẩm một số với 99, ta nhân số đó với 100 được bao nhiêu rồi trừ đi chính
số đó.
c)

Nhân nhẩm với 11

- Muốn nhân nhẩm một số với 11, ta nhân số đó với 10 được bao nhiêu rồi cộng với chính
số đó.
- Muốn nhân nhẩm một số có hai chữ số với 11:
+) Nếu tổng hai chữ số của số đó nhỏ hơn 10 ta chỉ việc cộng hai chữ số này, được bao
nhiêu ta viết xen vào giữa hai chữ số đó.
Ví dụ: 35 x 11 = 385
Cách làm: Ta lấy 3 + 5 = 8, viết xen 8 vào giữa 3 và 5.
+) Nếu tổng hai chữ số của số đó lớn hơn 9, ta cộng hai chữ số này lại, được bao nhiêu ta
viết hàng đơn vị của tổng này vào giữa hai chữ số của số đó và nhớ 1 vào hàng chục (cộng
thêm 1 vào hàng chục của số đó).
Ví dụ: 87 x 11 = 935
Cách làm: Ta lấy 8 + 7 = 15, viết 5 vào giữa 8 và 7 và lấy 1 + 8 = 9 được số 935.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Tính bằng cách thuận tiện:
a)

5 x 217 x 2

c) 1279 x 25 x 4

b)

8 x 313 x 125

d) 125 x 217 x 8
Lời giải

a)

5 x 217 x 2 = 5 x 2 x 217 = 10 x 217 = 2170

b)

8 x 313 x 125 = 8 x 125 x 313 = 1000 x 125 = 125000
6

c)

1279 x 25 x 4 = 1279 x 100 = 127900

d)

125 x 217 x 8 = 125 x 8 x 217 = 1000 x 217 = 217000

Ví dụ 2: Tính bằng cách thuận tiện nhất:
a)

2157 x 39 + 2157 x 61

c) 4734 x 52 + 48 x 4734

b)

7529 x 123 – 7529 x 23

d) 834 x 217 – 117 x 834

Lời giải
a) 2157 x 39 + 2157 x 61 = 2157 x (39 + 61)
= 2157 x 100 = 215700
b) 7529 x 123 – 7529 x 23 = 7529 x (123 - 23)
= 7529 x 100 = 752900
c) 4734 x 52 + 48 x 4734 = 4734 x (52 + 48)
= 4734 x 100 = 473400
d) 834 x 217 – 117 x 834 = 834 x (217 - 117)
= 834 x 100 = 83400
Ví dụ 3: Tích của hai số gấp 7 lần thừa số thứ nhất. Tìm thừa số thứ hai.
Lời giải:
Vì tích của hai số gấp 7 lần thừa số thứ nhất nên thừa số thứ hai chính là 7.

* Thứ tự các số thập phân
Ở giữa hai số thập phân có vô số số thập phân khác.
VD: Giữa 1,2 và 1,3 có vô số số thập phân khác:
Chẳng hạn: 1,2 < 1,21 < 1,211 < 1,212 < 1,2121…< 1,3.

CHUYÊN ĐỀ 2. CÁC PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Phép cộng phân số
1.1. Cách cộng
Hai phân số cùng mẫu:
a c ac
 
(b  0)
b b
b

Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đa về trờng hợp cộng 2 phân số có cùng mẫu số.
Cộng một số tự nhiên với một phân số.
- Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho.
7

- Cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ:
3 8 3 11
  
2+ 4 4 4 4

1.2. Tính chất cơ bản của phép cộng
- Tính chất giao hoán:
a c c a
  
b d d b.

- Tính chất kết hợp:
a c  m a  c m
      
b d  n b d n 

- Tổng của một phân số và số 0:
a
a a
0  0 
b
b b

2. Phép trừ phân số
2.1. Cách trừ
Hai phân số cùng mẫu:
a c ac
 
b b
b

Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng mẫu số
b) Quy tắc cơ bản:
- Một tổng 2 phân số trừ đi một phân số:
a c  m a  c m
      
 b d  n b  d n  (Với
c a m
  
= d  b n  (Với

c m

d n)
a m

b n)

- Một phân số trừ đi một tổng 2 phân số:
a  c m a c  m
      
b d n  b d  n
a m c
  
= b n  d

- Một phân số trừ đi số 0:
a
a
0 
b
b

3. Phép nhân phân số
a c axc
x 
3.1. Cách nhân: b d bxd

3.2. Tính chất cơ bạn của phép nhân:
- Tính chất giao hoán:
a c c a
x  x
b d d b

- Tính chất kết hợp:
a c  m a  c m
  
  
b d  n =b d n 

- Một tổng 2 phân số nhân với một phân số:
a c  m a m c m
      
b d  n b n d n

8

- Một hiệu 2 phân số nhân với một phân số:
a c  m a m c m
      
b d  n b n d n

- Một phân số nhân với số 0:
a
a
x0  0 x  0
b
b

3.3. Chú ý:
- Thực hiện phép trừ 2 phân số:
1 1 2 1 1
1
1 1
1
    
 
1 2 2 2 2 1x 2
Do đó: 1 2 1x2
1 1 3 2 1
1
1 1
1
    
 
2 3 6 6 6 2 x3
Do đó: 2 3 2 x3
1 1 4 3
1
1
1 1
1
 



 
3 4 12 12 12 3x 4
Do đó: 3 4 3x 4
1
1
n 1
n
1
1
1
1






n n  1 n  (n  1) n  (n  1) n  (n  1) Do đó: n n  1 n  (n  1)

- Muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó.
1
Ví dụ: Tìm 2 của 6 ta lấy:
1
1
1 1
 
Tìm 2 của 3 ta lấy: 2 3

1
6  3
2
1
6

4. Phép chia phân số
a c axd
: 
4.1. Cách làm: b d bxc

4.2. Quy tắc cơ bản:
- Tích của 2 phân số chia cho một phân số.
a c  m a  c m
 x  :  x : 
b d  n b d n 

- Một phân số chia cho một tích 2 phân số:
a  c m a c  m
: x    : : .
b d n  b d  n

- Tổng 2 phân số chia cho một phân số:
a c  m a m a m
  :  :  :
b d  n b n b n

- Hiệu 2 phân số chia cho một phân số:
a c  m a m c m
  :  :  :
b d  n b n d n

0:

a
 0.
b

- Số 0 chia cho một phân số:
- Muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho phân số tương ứng.
2
Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết 5 số học sinh của lớp 5A là 10 em.

Bài giải
Số học sinh của lớp 5A là:
2
 25
10 : 5
(em)

9

a
c
Khi biết phân số b của x bằng d của y (a, b, c, d  0)
c a
:
- Muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy d b
a c
:
- Muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy b d
2
3
Ví dụ: Biết 5 số nam bằng 4 số nữ. Tìm tỉ số giữa nam và nữ.

Bài giải
3 2 15
:
4 5= 8 .

Tỉ số giữa nam và nữ là:
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN
Dạng 1: Tổnh nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp
mẫu số của phân số liền trƣớc 2 lần.
1 1 1
1
1
1
  


Ví dụ: 2 4 8 16 32 64 .

Cách giải:
Cách 1:
1 1 1
1
1
1
  


Bƣớc 1: Đặt A = 2 4 8 16 32 64
1
1
1
2
Bƣớc 2: Ta thấy: 2
1 1 1
 
4 2 4
1 1 1
 
8 4 8
1 1
1 1
1
1 

 1

1            ...  

2 2
4 4
8
 32 64 
Bƣớc 3: Vậy A = 
1 1
1 1
1
1
1
1  
 
 ... 

2 2
4 4
8
32 64
A=
1
A = 1 - 64
64
1
63


A = 64 64 64
63
Đáp số: 64 .

Cách 2:
1 1 1
1
1
1
  


Bƣớc 1: Đặt A = 2 4 8 16 32 64

Bƣớc 2: Ta thấy:
1
1
1
2
2
1 1 3
1
  1
2 4 4
4
1 1 1 7
1
   1
2 4 8 8
8

…………….

10

1 1 1
1
1
1
  


Bƣớc 3: Vậy A = 2 4 8 16 32 64
1
64
1
63


= 1 - 64 = 64 64 64

Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền
sau gấp mẫu số của phân số liền trƣớc n lần. (n > 1)
1 1 1
1
1
1
  


Ví dụ: A = 2 4 8 16 32 64

Cách giải:
Bƣớc 1: Tính A x n (n = 2)
1
1
1 
1 1 1


   

Ta có: A x 2 = 2 x  2 4 8 16 32 64 
2 2
2
2
2
2
  


= 2 4 8 16 32 64
1 1 1 1
1
1   

2 4 8 16 32
=

Bƣớc 2: Tính A x n - A = A x (n - 1)
1 1 1
1
1


1    
A x 2 - A =  2 4 8 16 32
1 1 1
1
1
1   

2 4 8 16 32 A x (2 - 1) =
1
A = 1 - 64
64
1
63


A = 64 64 64
5 5
5
5
5
 



Ví dụ 2: B = 2 6 18 54 162

1
1
1 

1 1 1


    


 2 4 8 16 32 64 
1 1 1
1
1
1
  


2 4 8 16 32 64

5
486

Bƣớc 1: Tính B x n (n x 3)
5
5
5
5 
5 5



  

B x 3 = 3 x  2 6 18 54 162 486 

15 5 5
5
5
5
  


= 2 2 6 18 54 162

Bƣớc 2: Tính B x n - B
5
5
5 
 15 5 5


   

Bx3 - B =  2 2 6 18 54 162  15 5 5
5
5
5
  


B x (3 - 1) = 2 2 6 18 54 162 15
5

B x 2 = 2 486
3645  5
B x 2 = 486
3640

486
Bx2
3640
:2
B = 486

11

5
5
5
5 
5 5



  

 2 6 18 54 162 486 
5 5
5
5
5
5
 



2 6 18 54 162 486

1820
B 486
910

B 243


Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa
số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trớc là thừa số thứ
nhất của mẫu phân số liền sau:
1
1
1
1



Ví dụ: A = 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 x 6
3 2
43 54 65



A = 2 x 3 3x4 4 x5 5 x6

3
2
4
3
5
4
6
5







= 2 x 3 2 x3 3x4 3x4 4 x5 4 x5 5 x6 5 x6
1 1 1 1 1 1 1 1
      
= 2 3 3 4 4 5 5 6
1 1 3 1 2 1
    
= 2 6 6 6 6 3

Ví dụ:
3
3
3
3



B = 2 x 5 5 x 8 8 x 11 11 x 14
5  2 8  5 11 8 14  11



.
2
x
5
5
x
8
8
x
11
11
x
14
B=

5
2

B = 2 x5 2 x5
1 1 1
  
= 2 5 5
1
1
7


= 2 14 14



8
5
11
8
14
11





5 x 8 5 x 8 8 x 11 8 x 11 11 x 14 11 x 14

1 1 1
1
1
 


8 8 11 11 14
1
6 3



14 14 7

CHUYÊN ĐỀ 3. TỈ SỐ PHẦN TRĂM
A. LÝ THUYẾT
Quy tắc: Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b ta làm như sau:
Tìm thương của a và b.
Nhân thương đó với 100 và viết thêm kí hiệu % vào bên phải tích tìm được
Khi giải toán về tỉ số phần trăm, ta thƣờng gặp các dạng sau:
- Cho hai số a và b. Tìm tỉ số phần trăm của a và b.
- Cho b và tỉ số phần trăm của a và b. Tìm a.
- Cho a và tỉ số phần trăm của a và b. Tìm b.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Ví dụ 1. Trong kế hoạch năm năm 2001 - 2005, công nhân nông trƣờng A trồng đƣợc
720 ha rừng; trong đó, năm 2005 trồng đƣợc 144ha. Hỏi diện tích rừng trồng đƣợc
trong năm 2005 :
a) Bằng bao nhiêu phần trăm diện tích rừng 12trồng được trong bốn năm đầu?

b) Bằng bao nhiêu phần trăm diện tích rừng trồng được trong năm năm?
Giải
Diện tích rừng trồng được trong bốn năm đầu là:
720 - 144 = 576 ha.
Tỉ số phần trăm của diện tích rừng trồng được trong năm 2005 và bốn
năm đầu là:
144 : 576 = 0,25
0,25 = 25%
Tỉ số phần trăm của diện tích rừng trồng được trong năm 2005 và cả
năm năm là:
144 : 720 = 0,2
0,2 = 20%
Đáp số: a) 25%; b) 20%.
Ví dụ 2. Phải pha 3kg muối với bao nhiêu ki-lô-gam nƣớc lã để đƣợc bình nƣớc muối
chứa 15% muối?
Giải
Số ki-lô-gam nước lã cần dùng là:
3 x (100 - 15) : 15 = 17 kg
Đáp số: 17 kg nƣớc lã.
Ví dụ 3. Lớp 5B có 30 học sinh trong đó có 18 học sinh nữ. Tìm tỉ số phần trăm của:
a) Số học sinh nữ và số học sinh cả lớp.
b) Số học sinh nam và số học sinh nữ.
Đáp số :
a) Tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp là: 60%.
b) Tỉ số phần trăm của số học sinh nam và số học sinh nữ là: 66,66%.
Ví dụ 4. Tỉ số phần trăm của lƣợng muối trong nƣớc biển là 3,5%. Hỏi trong 4/5 kg
nƣớc biển có bao nhiêu gam muối?
Đáp số: 28g.
CHUYÊN ĐỀ 4. CÁC BÀI TOÁN VỀ LỊCH THỜI GIAN
Bài 1: Ngày 1/6/2012 là thứ 6. Hỏi:
a)

a. Ngày 1/6/2015 là thứ mấy?

b)

b. Ngày 1/6/2020 là thứ mấy?
Hƣớng dẫn
a.

Từ 1/6/2012 đến 1/6/2015 có số năm là:
2015 – 2012 = 3 (năm)
Ba năm thường có số ngày là: 365 x 3 = 1095 (ngày)
Ta có: 1095 : 3 = 156 dư 3
Ngày 1/6/2012 là thứ 6 thì 1/6/2015 là thứ 2.

b.

Từ 1/6/2012 đến 1/6/2020 có số năm là:

2020 – 2012 = 8 (năm)
13

Trong 8 năm đó có 2 năm nhuận là 2016 và 2020, mỗi năm có 366 ngày. Các năm còn lại,
mỗi năm có 365 ngày.
Từ 1/6/2012 đến 1/6/2020 có số ngày là:
2 x 366 + 6 x 365 = 2922 (ngày)
Ta có: 2922 : 7 = 417 dư 3
Ngày 1/6/2012 là thứ 6 thì 1/6/2020 là thứ 2.

Bài 2: Một tháng Hai của một năm nào đó có 5 ngày chủ nhật. Hỏi tháng Hai đó có
bao nhiêu ngày?
Hƣớng dẫn
Nếu ngày chủ nhật đầu tiên của tháng Hai đó là ngày mồng 2 thì các chủ nhật tiếp
theo là: 9; 16; 23.
Vậy tháng Hai đó chỉ có 4 ngày chủ nhật => loại.
Vậy chủ nhật đầu tiên của tháng Hai đó phải là ngày mồng 1. Các chủ nhật tiếp theo
sẽ vào mồng 8; 15; 22; 29.
Ngày chủ nhật cuối cùng của tháng đó là ngày 29 nên tháng Hai đó có 29 ngày.
Đ/S: 29 ngày

Bài 3: Tháng Hai của một năm nào đó có ngày chẵn đầu tiên là thứ bảy. Hỏi tháng
Hai đó có mấy thứ bảy?
Hƣớng dẫn
Ngày chẵn đầu tiên của tháng Hai đó phải là mồng 2.
Các thứ 7 tiếp theo sẽ là: 9; 16; 23
Vậy tháng Hai đó có 4 ngày thứ 7.
Đ/S: 4 ngày
Bài 4: Một nhà hộ sinh của một trạm xá trong tháng Hai năm 2013 có 29 em bé ra
đời. Có thể chắc chắn có ít nhất 2 em bé sinh cùng ngày đƣợc không?
Hƣớng dẫn
Năm 2013 là năm thường nên tháng Hai chỉ có 28 ngày.
Giả sử mỗi ngày của tháng Hai đó có 1 em bé ra đời, tháng Hai sẽ có:
28 x 1 = 28 em bé ra đời.
Em bé thứ 29 ra đời cũng vào một ngày nào đó của tháng Hai.
Vậy chắc chắn có ít nhất 2 em 14bé sinh cùng ngày.

CHUYÊN ĐỀ 5. PHƢƠNG PHÁP THỬ CHỌN
Ví Dụ 1: Biết rằng hiệu giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của một số lẻ có hai
chữ số bằng 3. Nếu thêm vào số đó 3 đơn vị ta đƣợc số có hai chữ số giống nhau. Tìm
số đó.
Giải
Gọi số cần tìm là ab.
Những số lẻ mà hiệu giữa hai chữ số của nó bằng 3 là:
25; 41; 47; 63; 69; 85.
Ta có bảng sau:
ab
ab + 3
Kết luận

25

28

loại

41

44

chọn

47

50

loại

63

66

chọn

69

72

loại

85

88

chọn
Vậy số cần tìm là 41; 63 và 85.

Ví Dụ 2: Chữ số hàng chục của một số tự nhiên có ba chữ số khác nhau gấp 2 lần chữ
số hàng đơn vi. Nếu lấy tích của chữ số hàng chục và hàng đơn vị chia cho chữ số
hàng trăm đƣợc thƣơng bằng 8. Tìm số đó.
Giải
Gọi số cần tìm là abc. Theo đề bài, số abc chỉ có thể là: a21; a42; a63; a84.
Ta có bảng sau:

abc

(b x c) : 8

Kêt luận

a21

2x1:8

Loại

a42

4x2:8=1

Chọn

a63

6x3:8

Loại

15

a84

8x4:8=4

Loại

Vậy số cần tìm là 142.
Ví Dụ 3: Tìm một số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng
18, tích các chữ số của nó bằng 64 và nếu viết các chữ số của số đó theo thứ tự ngƣợc
lại thì số đó không thay đổi.
Giải
Theo đề bài thì số cần tìm có dạng abba.
Tổng của hai chữ số a và b là:
18 : 2 = 9
Số 9 có thể phân tích thành tổng của những cặp số sau:
0 và 9; 1 và 8; 2 và 7; 3 và 6; 4 và 5.
Số cần tìm có thể là:
9009; 1881; 8118; 7227; 2772; 6336; 3663; 4554; 5445.
Ta có bảng sau:
abba
axbxbxa
Kết
Luận
9009
9x0x0x9 = 0
Loại
1881
1x8x8x1 = 64
Chọn
8118
8x1x1x8 = 64
Chọn
7227
7x2x2x7 = 196
Loại
2772
2x7x7x2 = 196
Loại
6336
6x3x3x6 = 324
Loại
3663
3x6x6x3 = 324
Loại
4554
4x5x5x4 = 400
Loại
5445
5x4x4x5 = 400
Loại
Vậy số cần tìm là 1881 hoặc 8118.

CHUYÊN ĐỀ 6. PHƢƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM
Bài 1: Hai ngƣời thợ làm chung một công việc thì phải làm trong 7 giờ mới xong.
Nhƣng ngƣời thợ cả chỉ làm 4 giờ rồi nghỉ do đó ngƣời thứ hai phải làm 9 giờ nữa
mới xong.Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngƣời phải làm mấy giờ mới xong?
Bài giải
Lấy 4 giờ của người thợ thứ hai để cùng làm với thợ cả thì được: 4/7 (công việc)
Thời gian còn lại của người thứ hai: 9 - 4 = 5 (giờ)
5 giờ của người thứ hai làm được: 1 – 4/7 = 3/7 (công việc)
Thời gian người thợ thứ hai làm xong công việc: 5 : 3 x 7 = 11 giờ 40 phút.
7 giờ người thứ hai làm được: 3/7 : 5 x 7 = 0,6 (công việc)
7 giờ người thợ cả làm được: 1 – 0,6 = 0,4 (công việc)
Thời gian người thợ cả làm xong công việc: 1 : 0,4 x 7 = 17 giờ 30 phút.
16

Bài 2: Hai ngƣời cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngƣời thứ nhất
làm trong 3 giờ, ngƣời thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm 25% công việc. Hỏi mỗi
ngƣời làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc đó?
Bài giải
Lấy 3 giờ của người thứ 2 để cùng làm chung 3 giờ với người thứ nhất thì được
3/16 công việc, tương đương với 3 : 16 =0,1875 = 18,75% (công việc)
3 giờ còn lại của người thứ 2 làm được: 25% - 18,75% = 6,25%
Thời gian người thứ hai làm xong công việc: 3 x 100 : 6,25 = 48 (giờ)
3 gời người thứ nhất làm được: 18,75% - 6,25% = 12,5%
Thời gian người thứ nhất làm xong công việc: 3 x 100 : 12,5 = 24 (giờ)
Đáp số: 24 giờ ; 48 giờ.
Bài 3: Một quầy bán hàng có 48 gói kẹo gồm loại 0,5kg; loại 0,2kg và loại 0,1kg. Khối
lƣợng cả 48 gói la 9kg. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu gói (biết số gói 0,1kg gấp 3 lần số
gói 0,2kg).
Bài giải
Như vậy nếu có 1 gói 0,2kg thì có 3 gói 0,1kg.
Tổng khối lượng 1 gói 0,2kg và 3 gói 0,1kg.
0,2 + 0,1 x 3 = 0,5 (kg)
Giả sử đều là gói 0,5kg thì sẽ có tất cả:
9 : 0,5 = 18 (gói)
Như vậy sẽ còn thiếu:
48 – 18 = 30 (gói)
Còn thiếu 30 gói là do ta đã tính (3+1=4) 4 gới (vừa 0,2g vừa 0,1kg) thành 1 gói.
Mỗi lần như vậy số gói sẽ thiếu đi:
4 – 1 = 3 (gói)
Số gói cần phải thay là: 30 : 3 = 10 (gói)
Số gói 0,5 kg: 18 – 10 = 8 (gói 0,5kg)
10 gói 0,2kg thì có số gói 0,1kg: 10 x 3 = 30 (gói 0,1kg)
Đáp số: 0,5kg có 8 gói ; 0,2kg có 10 gói ; 0,1kg có 30 gói .
Bài 4: Có 145 tờ tiền mệnh giá 5000đ, 2000đ và 1000đ. Số tiền của 145 tờ tiền giấy
trên là 312 000đ. Số tiền loại mệnh giá 2000đ gấp đôi loại 1000đ. Hỏi mỗi loại tiền có
mấy tờ.
Bài giải
Do Số tiền loại mệnh giá 2000đ gấp đôi loại 1000đ
Nên số tờ mệnh giá 2000 bằng số tờ mệnh giá 1000
- Giả sử 145 tờ toàn là tiền mệnh giá 5000 đ thì tổng số tiền lúc này là:
5000 x 145 = 725000 đ
- Số tiền dôi lên là: 725000 - 312000 = 413000 đ
- Mỗi lần thay 2 tờ 5000đ bởi 1 tờ 2000 và 1 tờ 1000đ
17

Thì số tiền dôi lên là: 2 x 5000 – (2000 + 1000) = 7000 đ
- Số lần thay thế là: 413000 : 7000 = 59 lần
=>Có 59 tờ mệnh giá 2000đ, và 59 tờ mệnh giá 1000đ.
Số tờ mệnh giá 5000đ là: 145 - (59 x 2) = 27 tờ
Đáp số:
- Loại 5000 đ có 27 tờ
- Loài 2000 đ có 59 tờ
- Loại 1000 đ có 59 tờ
CHUYÊN ĐỀ 7. PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGƢỢC
Ví dụ 1: Nhà Lan nuôi đƣợc một đàn gà. Tuần trƣớc mẹ bán 2/3 đàn gà. Tuần này
mẹ bán 3/4 số gà còn lại thêm 1/4 con nữa thì đàn gà nhà Lan còn lại 3 đôi gà. Hỏi
đàn gà nhà Lan có tất cả bao nhiêu con?
Giải
Đổi 3 đôi = 6 con gà.
Chia số gà còn lại sau lần bán thứ nhất làm 4 phần bằng nhau, ta có sơ đồ sau:
Bán lần 2
6 con
|====|====|====|=|===|
1/4 con
Số gà còn lại sau lần bán thứ nhất là:
(6 + 1/4) x 4 = 25 con
Chia số gà của cả đàn làm 3 phần bằng nhau, ta có sơ đồ sau:
Bán lần 1 25 con
|=====|=====|=====|
Số gà của cả đàn là:
25 x 3 = 75 con
Đ/S: 75 con gà.
Ví dụ 2: Dì Út đi chợ bán trứng. Lần thứ nhất bán một nửa số trứng cộng thêm 1
quả, lần thứ hai bán một nửa số trứng còn lại cộng thêm 2 quả và lần thứ ba bán một
nửa số trứng còn lại sau hai lần bán cộng thêm 3 quả thì vừa hết số trứng.
Hỏi dì Út đã bán tất cả bao nhiêu quả trứng?
Giải
Chia số trứng sau lần bán thứ 2 ra làm hai phần bằng nhau ta có sơ đồ sau:
|===|===|
Số trứng còn lại sau khi bán lần 2 là: 3*2 = 6 quả trứng.
Chia số trứng còn lại sau lần bán thứ nhất ra làm hai phần ta có sơ đồ sau:
1 nửa 6 quả
|====|=|===|
2 quả
Số trứng còn lại sau khi bán lần 1 là: (6 + 2)*2 = 16 quả trứng.
Chia số trứng ban đầu ra làm 2 phần bằng nhau ta có sơ đồ sau:
1 nửa 16 quả
18

|=====|=|====|
1 quả
Số chứng ban đầu là: (16 + 1)*2 = 34 quả trứng.
Vậy ban đầu dì Út có 34 quả trứng.
Đ/S: 34 quả trứng.
CHUYÊN ĐỀ 8. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ THẬP PHÂN
A. LÝ THUYẾT
- Mỗi số thâp phân có 2 phần: phần nguyên và phần thâp phân, hai phần đươc ngăn cách
nhau bởi dấu phẩy. Bên trái dấu phẩy là phần nguyên, bên phải dấu phẩy là phần thâp
phân.
- Mỗi số tư nhiên a đều có thể biểu diễn thành số thâp phân mà phần thâp phân là những
số 0.
- Nếu viết thêm số 0 vào bên phải phần thâp phân của môt số thâp phân thì ta đươc môt số
thâp phân bằng nó. Nếu số thâp phân ở tân cùng bên phải là số 0 thì khi xóa đi số 0 đó ta
đươc số thâp phân mới bằng chính nó.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Viết các phân số sau dƣới dang thâp phân:
a) 1/2
b) 2014/5
c)26/8
Lời giải
a) 1/2 = (1 x 5)/(2 x 5) = 5/10 = 0,5
b) 2014/5 = (2014 x 2)/(5 x 2) = 4028/10 = 402,8
c) 26/8 = (26 x 125)/(8 x 125) = 3250/1000 = 3,250 = 3,25.
Bài 2: Cho ba chữ số 0; 1; 2. Hãy viết tất cả các số thâp phân từ 3 số đã cho sao cho
mỗi chữ số xuất hiện trong cách viết đúng một lần.
Giải
Những số có 1 chữ số ở phần nguyên là:
0,12; 0,21; 1,02; 1,20; 2,10; 2,01
Những số có hai chữ số ở phần nguyên là:
10,2; 12,0; 20,1; 21,0
CHUYÊN ĐỀ 9. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP CHI CÓ DƢ
A. LÝ THUYẾT
 Nếu a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó là: 1; 3; 5; 7 hoặc 9.


Nếu a chia 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó là 1 hoặc 6; chia cho 5 dư 2 thì chữ số
tận cùng của a là 2 hoặc 7; nếu chia cho 5 dư 3 thì chữ số tận cùng là 3 hoặc 8; chia
5 dư 4 thì chữ số tận cùng là 4 hoặc 9.



Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng chia hết cho 2. Cũng có
những tính chất tương tự với các số 3, 4, 5 và 9.



Nếu a chia b dư b - 1 thì a + 1 chia hết cho b.



Nếu a chia b dư 1 thì a - 1 chia hết cho b.

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Tìm x và y để N = 3x579y chia cho 2, 5, 9 đều dƣ 1.
Giải
19

N chia 5 dư 1 nên y có thể bằng 1 hoặc 6.
Nhưng N cũng chia 2 dư 1 nên y phải lẻ. Vậy y = 1.
=> N = 3x5791
Tổng các chữ số của N = 3 + x + 5 + 7 + 9 + 1 = x +25.
Để N chi 9 dư 1 thì (x + 25) chia 9 dư 1 => x + 25 = 28 => x =3.
Vậy x = 3; y = 1 và N = 335791
Ví dụ 2: Tìm một số tự nhiên bé nhất khác 1 sao cho khi chia số đó cho 3; 4; 5; 6 và 7
đều dƣ 1.
Giải
Gọi số cần tìm là a.
Theo đề bài, a chia cho 3; 4; 5; 7 đều dư 1 nên b = a - 1 chia hết cho 3; 4; 5; 6; 7.
b chia hết cho 4 và 5 nên b có tận cùng là 0.
Xét các trường hợp sau:
- b có 1 chữ số: b = 0 -> a = 1 loại.
- b có 2 chữ số: b có tận cùng bằng 0 và chia hết cho 7 nên b = 70 loại vì 70 không
chia hết cho 3.
- b có 3 chữ số: đặt b = xy0.
+ Vì b chia hết cho 4 nên y bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8;
+ Vì xy0 chia hết cho 7 nên b có thể là: 140; 280; 420; 560; 700; 840 hoặc 980.
Trong các số trên chỉ có 420 và 840 chia hết cho 3 và 6. Nên b bằng 420 hoặc 840
=> a bằng 421 hoặc 841.
Vậy số bé nhất cần tìm là: 421.
Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên bé nhất sao cho khi chia cho 3 dƣ 2, cho 4 dƣ 3, cho 5 dƣ 4;
cho 6 dƣ 5 và 7 dƣ 6.
Giải
Gọi số cần tìm là a.
Đặt b = a + 1. Theo đề bài thì ta suy ra b chia hết cho 3, 4, 5, 6, 7.
Mà ở ví dụ 2 ta có được số bé nhất chia hết cho 3; 4; 5; 6; 7 là 420.
Vậy a = 419.
CHUYÊN ĐỀ 10. VẬN DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG & HIỆU
A. LÝ THUYÊT
- Nếu mỗi số hạng của tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2.
- Nếu một số hạng không chia hết cho 2 và các số hạng còn lại đều chia hết cho 2 thì tổng
của chúng không chia hết cho 2.
- Hiệu giữa một số chia hết cho 2 và một số không chia hết cho 2 là một số không chia hết
cho 2.
- Các tính chất tương tự đối với các trường hợp chia hết cho 3, 4, 5 và 9.
B. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Ví dụ 1: Không làm phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho
3 hay không?
a) 240 + 123
b) 240 - 123
c) 459 + 690 + 1236
d) 2454 + 374
e) 2454 - 374
f) 541 + 690 + 1236
20

Hƣớng dẫn giải
Vì 240 và 123 chia hết cho 3 nên
a) 240 + 123 chia hết cho 3
b) 240 - 123 chia hết cho 3
c) Các số 459, 690 và 1236 đều chia hết cho 3 nên 459 + 690 + 1236 chi hết cho 3.
d) Do 2454 chia hết cho 3 và 374 không chia hết cho 3. Vì vậy, 2454 + 374 không
chia hết cho 3.
e) Tương tự phần d) ta có được: 2454 - 374 không chia hết cho 3.
f) 690 và 1236 chia hết cho 3, nhưng 541 không chia hết cho 3 nên: 541 + 690 +
1236 không chia hết cho 3.
Ví dụ 2: Tổng kết năm học 2013 - 2014, Trƣờng Tiểu Học Rạng Đông có 321 học sinh
tiên tiến và 123 học sinh giỏi. Ban giám hiệu dự định thƣởng cho mỗi học sinh giỏi
nhiều hơn mỗi học sinh tiên tiến nhiều hơn 3 quyển vở. Cô phụ trách tính phải mua
2014 quyển thì vừa đủ phát thƣởng. Hỏi cô phụ trách tính đúng hay sai tại sao?
Hƣớng dẫn giải
Nhận xét: Số học sinh giỏi và số học sinh tiên tiến đều là những số chia hết cho 3, vì vậy
số vở thưởng cho mỗi loại học sinh là số chia hết cho 3.
Do đó, tổng số vở phát thưởng ...